Проценты. Теоритические сведения

Одна сотая часть числа называется процентом. Например, 1% от 4 это 0,04.

– Основные задачи на проценты – это:

– 1. Нахождение процентов данного числа.

Чтобы найти р % от а, надо а*0,01р

– 2. Нахождение числа по его процентам.

Если известно, что р% числа равно b, то а = b: 0,01р

– 3. Нахождение процентного отношения чисел.

Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100%: а/b *100

Примеры решения задач

Задача 1

При оплате услуг через платежный терминал взымается комиссия 5%. Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 300 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приемное устройство данного терминала?

Решение:

300 * 0,05= 15 р – комиссия

300 + 15 = 315 сумма вместе с комиссией;

320 р – надо положить на счет.

Задача 2 (из задач учеников)

На покупку планшета взяли кредит 20000 р на 1 год под 16 % годовых. Вычислите, сколько денег необходимо вернуть банку, какова ежемесячная сумма выплат?

Решение:

20000*0,16 = 3200 – один год

20000 + 3200 = 23200 р

23200:12= 1933 р

Задача 3 ( ЕГЭ )

Мобильный телефон стоил 5000 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 3000 рублей. На сколько процентов была снижена цена?

Решение:

5000 – 3000 = 2000 – на столько снижена цена на телефон

2000: 5000 *100 = 2:5 *100 = 0,4 *100 = 40 %

Ответ: на 40 %.

Решение задач на проценты с помощью пропорций

Задачи на проценты модно решать с помощью пропорций. Если A — это целое, которое принимаем за 100%p% от него равны N, то можно составить пропорцию

100%N
p%A

Если есть одно неизвестное Np% или A, то его можно найти из этой пропорции через две другие величины.

Из пропорции получаем формулы для нахождения каждого её члена через остальные:

N=(A100)/p
p=(A100)/N
A=(Np)/100

Примеры

Задача 1: В школьной библиотеке 8400 книг, из них 5460 учебников. Какой прцент учебников в школьной библиотеке?

Решение: Общее количество книг в библиотеке 8400 — это число принято за 100%. Количество учебников 5460 составляет p% от общего числа книг. Составим пропорцию:

100%8400
p%5460

Найдем из этой пропорции p:

p%=(5460100%)/8400=65%

Значит, в библиотеке 65% учебников.

Ответ: 65%

Задача 3: Вода составляет 76% картофеля. Сколько килограммов воды в 35 кг картофеля?

Решение: Вся масса картофеля принимается за 100% и равна 35 кг. Воды в ней 76% и массу воды надо найти. Обозначим её за N и составим пропорцию:

100%35
76%N

Найдем из этой пропорции N:

N=(7635)/100=26,6

Ответ: 26,6

Задачи на смеси и сплавы

На выпускных экзаменах встречается много задач на смеси и сплавы. При решении таких задач мы используем таблицу.

Таблица для решения задач имеет вид (на доске)

 

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов

% содержание вещества

(доля содержания вещества)

Масса раствора

(смеси, сплава)

Масса вещества

 

Задача 4

Смешали 8 литров 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

 

% содержания вещества

Масса раствора

Масса вещества

1 раствор

15% = 0,15

8 л

8 *0,15

2 раствор

25% = 0,25

12 л

12 * 0,25

смесь

X

8 + 12 = 20 л

20 x

 

Сумма масс некоторого вещества в двух первых растворах (то есть в первых двух строчках) равна массе этого вещества в полученном растворе (третья строка таблицы):

20 x = 8*0,15 + 12 * 0,25

20 x = 1,2 + 3 = 4, 2

x = 4,2 : 20 = 0,21 = 21 %

Ответ: 21 %.

Старинный способ решения задач на смеси, сплавы и растворы (правило креста).

Впервые о нем было упомянуто в первом печатном учебнике математики Леонтия Магницкого.

Данный способ применялся купцами и ремесленниками при решении различных практических задач. Но в задачниках и различных руководствах для мастеров и торговцев никаких обоснований и разъяснений не приводилось. Просто давался рецепт решения: либо рисовалась схема, либо словесно описывалась последовательность действий — поступай так и получишь ответ.

Задача 5.

Один раствор содержит 20 % соли, а второй – 70 %. Сколько граммов первого и второго раствора нужно взять, чтобы получить 100 г 50% раствора.

Решение:

Применим правило “креста”.

Составим схему:

Значит, 100 г смеси составляют 20 + 30 = 50 частей.

100 : ( 20 + 30 ) = 2 г – на 1 часть.

2 * 20 = 40 г – 20% раствора

2 * 30 = 60 г – 70 % раствора

Ответ: 40 г- 20 % раствора; 60 г- 70 % раствора.

Задача 6.

Первый сплав содержит 10 % меди, второй – 25 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 30 кг, содержащий 20 % меди. Какое количество каждого сплава было использовано?

Решить задачу разными способами: системой уравнений, линейным уравнением, “крестом”.

(по рядам.)

1 способ: (система уравнений)

 

% содержания вещества

Масса сплава

Масса меди

1 сплав

10% = 0,1

Х кг

х * 0,1

2 сплав

25% = 0,25

У кг

у * 0,25

сплав

20 % = 0,2

3 кг

3 * 0,2

 

0,15 у = 0,3 у = 2 , значит х = 1.

Ответ: 1 сплав – 1 кг, 2 сплав – 2 кг.

2 способ: ( линейное уравнение)

 

% содержания вещества

Масса сплава

Масса меди

1 сплав

10% = 0,1

Х кг

х * 0,1

2 сплав

25% = 0,25

3 – х кг

( 3 – х) * 0,25

сплав

20 % = 0,2

3 кг

3 * 0,2

 

х * 0,1 + ( 3 – х ) * 0,25 = 3 * 0,2

х * 0,1 + 0,75 – х * 0,25 = 0,6

– 0,15 х = – 0,15

х = 1, значит 3 – 1 = 2.

Ответ : 1 сплав – 1 кг, 2 сплав – 2 кг.

3 способ: (“крест”)

5+10 = 15 частей в 3 кг

3: 15 = 0,2 кг – в 1 части.

На 5 частей – 0,2 * 5 = 1 кг

На 10 частей – 0, 2 * 10 = 2 кг

Ответ: 1 сплав – 1 кг, 2 сплав – 2 кг.