Основные алгебраические формулы

Формулы сокращенного умножения

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \]

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]

\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]

\[ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \]

\[ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \]

\[ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \]

\[ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \]

Свойства степеней

    1. \( a^n*a^m=a^{n+m} \)
    2. \( a^n:a^m=a^{n-m} \)
    1. \( (a^n)^m=a^{nm} \)
    1. \( {(\frac {a} {b})}^n=\frac{a^n} {b^n} \)
    1. \( {(a*b)}^n=a^n*b^n \)
    1. \( a^0=1 \)
  1. \( a^{-n}=\frac{1}{a^n} \)
  2. \( \sqrt[n]{b^m}=b^{\frac{m}{n}} \)

Свойства арифметического корня

Корнем n-ой степени (\( n\in N, n\geq 2 \)) из числа а называется число, n-ая степень которого равна а.

Арифметическим корнем четной степени n (​\( n=2k, k\in N \)​ ) из неотрицательного числа а

  1. \( (\sqrt[n] {a^n})=a \)
  2. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a} \)
  3. \( \sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}, (b\neq0) \)
  4. \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}, (b\neq0) \)
  5. \( a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^nb}, a\geq0 \)
  6. \( a\sqrt[n]{b}=-\sqrt[n]{a^nb}, a<0 \)

Логорифмы

Логарифмом числа b по основанию a (a>0; a≠1) называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b:

\(log_{a}b=x\Leftrightarrow a^x=b\)

\(lgb=log_{10}b\)

\(lnb=log_{e}b\), e≈2.7…

Свойства логарифмов (a>0, a≠1, b>0, c>0):

  1. \(log_{a}a=1\)
  2. \(log_{a}1=0\)
  3. \(log_{a}(b\cdot c)= log_{a}b+log_{a}c\)
  4. \(log_{a}\frac{b}{c}= log_{a}b-log_{a}c\)
  5. \(log_{a}b^p=p \cdot log_{a}b\)
  6. \(log_{a^q}b= \frac{1}{q} \cdot log_{a}b\), q≠0
  7. \(log_{a}b=\frac{ log_{c}b}{log_{c}a}\), c≠1
  8. \(log_{a}b= \frac{1}{log_{b}a}\), b≠1
  9. \(a^{log_{b}a}=c^{log_{b}a}\), c≠1, b≠1